声场的物理基础

1 波动方程

时域下，无源场的波动方程为

$$\nabla^2s(\mathbf{x},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2s(\mathbf{x},t)}{\partial t^2}=0$$

对等式两边同时取对时间的傅里叶变换，可得亥姆霍兹方程

$$\nabla^2S(\mathbf{x},\omega)+k^2S(\mathbf{x},\omega)=0$$

其中，$k$被称为波数，与角频率的关系为

$$k^2=(\frac{\omega}{c})^2$$

1.1 笛卡尔坐标系下的解

亥姆霍兹方程在笛卡尔坐标系下的解为

$$S(\mathbf{x},\omega)=\hat{S}(\omega)e^{-i(k_xx+k_yy+k_zz)}=\hat{S}(\omega)e^{-i\mathbf{k}^T\mathbf{x}}$$

其中，波数满足关系

$$k^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2$$

据此可得

$$k_y=\begin{cases}\pm \sqrt{k^2-k_x^2-k_z^2} & for \ k^2\ge k_x^2+k_z^2 \\ \pm i\sqrt{k_x^2+k_z^2-k^2} & for\ k_x^2+k_z^2\ge k^2\end{cases}$$

第二种情况下的解被称为倏逝波或衰减波(evanescent wave)

$$S_{pw}(\mathbf{x},\omega)=\hat{S}_{pw}(\omega)e^{\pm\sqrt{k_x^2+k_z^2-k^2}y}e^{-i(k_{pw,x}x+k_{pw,z}z)}$$

1.2 球坐标系下的解

采用分离变量法

$$S(\mathbf{x},\omega)=\Pi(r)\Theta(\alpha)\Phi(\beta)$$

其中，径向解可由$n$阶球贝塞尔函数$j_n(kr)$和球诺伊曼函数$y_n(kr)$表示，也可以由一阶和二阶球汉克尔函数表示

$$h_n^{(1,2)}(\frac{\omega}{c}r)=j_n(\frac{\omega}{c}r)\pm iy_n(\frac{\omega}{c}r)$$ $$h_n^{(1,2)}(\frac{\omega}{c}r)\approx(\mp)^nh_0^{1,2}(\frac{\omega}{c}r)\ \ for\ \forall \frac{\omega}{c}r \to +\infty$$

方位角上的解$\Theta(\alpha)$由复指数函数$e^{im\alpha},\ m\in \mathbb{Z}$表示，极角解可由关联勒让德函数$P_n^m(cos\beta)$给出。将亥姆霍兹方程的角度变量解结合并归一化，可得球谐函数

$$Y_n^m(\beta,\alpha)=(-1)^m\sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\frac{(n-|m|)!}{(n+|m|)!}}P^{|m|}_n(cos\beta)e^{im\alpha}$$

2 声场的表示

2.1 球谐函数展开

球谐函数是亥姆霍兹方程的一组完备正交解

$$S(\mathbf{x},\omega)=\sum^\infty_{n=0}\sum^{n}_{m=-n}\mathring{S}_n^m(r,m)Y_n^m(\beta,\alpha)$$

这种二维序列是归一化的傅里叶序列，也被称为拉普拉斯序列。

2.2 内部域问题和外部域问题

内部域问题是指，目标区域是没有任何声源及障碍的区域，所有声源及障碍均位于目标区域之外。外部域问题是指所有声源及障碍均位于目标区域之内。

对于内部域$\Omega_i$，有

$$S_i(\mathbf{x},\omega)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=-n}^n\breve{S}_{n,i}^m(\omega)j_n(\frac{\omega}{c}r)Y^m_n(\beta,\alpha)$$

其中

$$\breve{S}^m_{n,i}(\omega)=\frac{1}{j_n(\frac{\omega}{c}r)}\int^{2\pi}_0\int^{\pi}_0S(\mathbf{x},\omega)Y_n^{-m}(\beta,\alpha)sin\beta d\beta\alpha$$

对于外部域$\Omega_e$，有

$$S_e(\mathbf{x},\omega)=\sum^\infty_{n=0}\sum^n_{m=-n}\breve{S}_{n,e}^m(\omega)h_n^{(2)}(\frac{\omega}{c}r)Y_n^m(\beta,\alpha)$$

将球谐函数代入上式（内部域），得

$$S(\mathbf{x},\omega)=\sum^{\infty}_{m=-\infty}\underbrace{\sum^{\infty}_{n=|m|}\breve{S}_n^m(\omega)j_n(\frac{\omega}{c}r)(-1)^m\sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\frac{(n-|m|)!}{(n+|m|)!}}P^{|m|}_n(cos\beta)}_{=\mathring{S}_m(r,\beta,\omega)}e^{im\alpha}$$

可以视为傅里叶级数，$e^{im\alpha}$为傅里叶级数得正交基，则

$$\mathring{S}_m(r,\beta,\omega)=\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0S(\mathbf{x},\omega)e^{-im\alpha}d\alpha$$

总结：

球面波的内部域球谐函数表示：$\forall r\lt r_s$，声波从$(r_s,\alpha_s,\beta_s)$向外辐射

$$\frac{e^{-i\frac{\omega}{c}|\mathbf{x}-\mathbf{x}_s|}}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_s|}=\sum^\infty_{n=0}\sum^n_{m=-n}\underbrace{(-i)\frac{\omega}{c}h^{(2)}_n(\frac{\omega}{c}r_s)Y^{-m}_n(\beta_s,\alpha_s)}_{=\breve{S}^m_{n,sw,i}}j_n(\frac{\omega}{c}r)Y^m_n(\beta,\alpha)$$

球面波得外部域球谐函数表示：$\forall r\gt r_s$，声波从外向点$(r_s,\alpha_s,\beta_s)$辐射

$$\frac{e^{-i\frac{\omega}{c}|\mathbf{x}-\mathbf{x}_s|}}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_s|}=\sum^\infty_{n=0}\sum^n_{m=-n}\underbrace{(-i)\frac{\omega}{c}j_n(\frac{\omega}{c}r_s)Y^{-m}_n(\beta_s,\alpha_s)}_{=\breve{S}^m_{n,sw,e}}h^{(2)}_n(\frac{\omega}{c}r)Y^m_n(\beta,\alpha)$$

对于沿$(\theta_{pw},\phi_{pw})$方向传播得平面波，可表达为

$$e^{-i\mathbf{k}^T_{pw}\mathbf{x}}=\sum^\infty_{n=0}\sum^n_{m=-n}\underbrace{4\pi i^{-n}Y^{-m}_n(\phi_{pw},\theta_{pw})}_{=\breve{S}^m_{n,pw}}j_n(\frac{\omega}{c}r)Y^m_n(\beta,\alpha)$$

2.3 带限球谐级数

考虑带限的级数展开（球谐级数在$N\gt N_{min}$时一致收敛）

$$S(\mathbf{x},\omega)\approx \sum^{N-1}_{n=0}\sum^n_{m=-n}\mathring{S}^m_n(r,\omega)Y^m_n(\beta,\alpha)$$

2.3.1 内部展开

内部展开的属性可以描述为：低阶展开可视为离展开中心较近的声场，高阶展开可视为距展开中心较远的声场。

带限声场球贝塞尔函数的宗量要小于最高阶数

$$\frac{\omega}{c}r\lt (N-1)$$

因此，该带限声场的边界为

$$r_{N-1}=\frac{N-1}{2\pi}\lambda$$

被称为$r_{N-1}$区域。

截断效应会使得在$r_{N-1}$区域之外的部分声压比精确重现的区域（$r_{N-1}$区域）声压更大，这种现象被称为吉布斯现象（Gibbs phenomenon）。为了消除这种现象，需要进行角加权（angular weighting）（Ahrens and Spors 2009）

$$S(\mathbf{x},\omega)=\sum^{N-1}_{n=0}\sum^n_{m=-n}\breve{\omega}_n\breve{S}^m_nj_n(\frac{\omega}{c}r)Y^m_n(\beta,\alpha)$$

2.3.2 外部展开

假设声源为位于原点的单极子

$$S^m_{n,e}(\omega)= \begin{cases}(-1)^{m+n}i^{-n}\frac{(N-1)!N!}{(N+n)!(N-n-1)!}Y^{-m}_n(\beta_{or},\alpha_{or}) & \ \forall n\le N-1 \\ 0 & \ elsewhere\end{cases}$$

$(\alpha_{or},\beta_{or})$为声源的主要辐射方向（Ahrens and Spors 2010）。

2.4 Signature Function

内部域声场可以表示为一个抽象的单位球表面平面波的叠加

$$S_i(\mathbf{x},\omega)=\frac{1}{4\pi}\int^{2\pi}_0\int^\pi_0\bar{S}_i(\phi,\theta,\omega)e^{-i\mathbf{k}\mathbf{x}}sin\phi d\phi d\theta$$

分解系数被称为signature function（Gumerov and Duraiswami）。

$$\bar{S}_i(\phi,\theta, \omega)=\sum^\infty_{n=0}\sum^n_{m=-n}i^n\breve{S}^m_{n,i}(\omega)Y^m_n(\phi,\theta)$$

2.5 波数域

声场$S(\mathbf{x},\omega)$的在$x$上的空间傅里叶变换为

$$\tilde{S}(k_x,y,z,\omega)=\int^\infty_{-\infty}S(\mathbf{x},\omega)e^{ik_xx}dx$$

即，空间傅里叶域为波数域，也成为k空间。

2.6 角谱

假定声场$S(\mathbf{x},\omega)$在任意$y=const$平面上的空间谱表示为

$$S(\mathbf{x},\omega)=\frac{1}{4\pi^2}\iint^\infty_{-\infty}\tilde{S}(k_x,y,k_z,\omega)e^{-i(k_xx+k_zz)}dk_x dk_z$$

空间谱下的亥姆霍兹方程

$$\frac{\partial^2}{\partial y^2}\tilde{S}(k_x,y,k_z,\omega)+k^2_y\tilde{S}(k_x,y,k_z,\omega)=0$$

其解为

$$\tilde{S}_1(k_x,y,k_z,\omega)=\check{S}_1(k_x,k_z,\omega)e^{ik_yy}\\ \tilde{S}_2(k_x,y,k_z,\omega)=\check{S}_2(k_x,k_z,\omega)e^{-ik_yy}$$

代入可得

$$S(\mathbf{x},\omega)=\frac{1}{4\pi^2}\iint^\infty_{-\infty}\check{S}_1(k_x,k_z,\omega)e^{-i(k_xx+k_yy+k_zz)}dk_x dk_z \\ S(\mathbf{x},\omega)=\frac{1}{4\pi^2}\iint^\infty_{-\infty}\check{S}_2(k_x,k_z,\omega)e^{-i(k_xx-k_yy+k_zz)}dk_x dk_z$$

$\check{S}_1$和$\check{S}_2$被称为角谱。

2.3 边界条件

边界条件可以分为两种基本类型：齐次边界条件及非齐次边界条件。齐次边界条件描述的是静止边界，非齐次边界条件描述的是reacting condition。

2.3.1 狄利克雷边界条件

狄利克雷边界条件是关于声压的描述。齐次狄利克雷边界为

$$S(\mathbf{x},\omega)=0\ \ \ \ \ \ \forall \in \partial \Omega$$

即声压$S(\mathbf{x},\omega)$在边界$\partial \Omega$上为零，也被称之为sound-soft边界。

非齐次狄利克雷边界条件为

$$S(\mathbf{x},\omega)=F_D(\mathbf{x},\omega)\ \ \ \ \forall x \in \partial \Omega$$

即声压$S(\mathbf{x},\omega)$等于在边界$\partial \Omega$上任意平方可积的函数$F_D(\mathbf{x},\omega)$。

2.3.2 诺伊曼边界条件

齐次诺伊曼边界条件为

$$\frac{\partial S(\mathbf{x},\omega)}{\partial \mathbf{n}(\mathbf{x})}\Bigg|_{\partial \Omega}=0$$

描述了sound-hard boundaries。

非齐次诺伊曼边界条件为

$$\frac{\partial S(\mathbf{x},\omega)}{\partial \mathbf{n}(\mathbf{x})}\Bigg|_{\partial \Omega}=F_N(\mathbf{x},\omega)\bigg|_{\partial \Omega}$$

2.3.3 索莫菲尔德辐射条件

索莫菲尔德辐射条件（Sommerfield Radiation Condition）

$$\lim_{r\rightarrow +\infty} r\left(\frac{\partial}{\partial r}S(\mathbf{x},\omega)+i\frac{\omega}{c}S(\mathbf{x},\omega)\right)=0$$

适用于外部域问题时无限远处的边界条件。

2.4 格林函数

非齐次亥姆霍兹方程

$$\nabla_2G(\mathbf{x},\mathbf{x}_0,\omega)+k^2G(\mathbf{x},\mathbf{x}_0,\omega)=-\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)$$

的解$G(\mathbf{x},\mathbf{x}_0,\omega)$被称为格林函数，代表了$\mathbf{x}_0$处的狄拉克函数激励产生的响应。可以理解为格林函数是空间单位冲击响应。

无源场的格林函数$G_0$仅与$\mathbf{x}$与$\mathbf{x}_0$间的距离有关

$$G_0(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0,\omega)=\frac{1}{4\pi}\frac{e^{-i\frac{\omega}{c}}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right|}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right|}$$

可被理解为位于$\mathbf{x}_0$的单极子空间转移函数。

2.5 瑞利积分

时频域无源场下的瑞利第一积分是

$$P(\mathbf{x},\omega)=-\int_{\partial \Omega}2\frac{\partial}{\partial \mathbf{n}}S(\mathbf{x},\omega)\bigg|_{\mathbf{x}-\mathbf{x}_0}\cdot G(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0,\omega)dA(\mathbf{x}_0)$$

瑞利第一积分的意义是无源半空间内的声场$S(\mathbf{x},\omega)$由声场在目标半空间法向上的梯度唯一决定。

2.6 基尔霍夫-亥姆霍兹积分

对于内部域问题

$$a(\mathbf{x})P(\mathbf{x},\omega)=-\oint_{\partial \Omega}\left(G(\mathbf{x},\mathbf{x}_0,\omega)\frac{\partial}{\partial \mathbf{n}(\mathbf{x}_0)}S(\mathbf{x},\omega)\bigg|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}_0} \\-S(\mathbf{x}_0,\omega)\frac{\partial}{\partial \mathbf{n}(\mathbf{x}_0)}G(\mathbf{x},\mathbf{x}_0,\omega) \right)dA(\mathbf{x}_0)$$

其中

$$a(\mathbf{x})=\begin{cases}1 & \, if \ \mathbf{x}\in\Omega_i \\ \frac{1}{2} & if \, \mathbf{x}\in \partial \Omega \\ 0 & if \, \mathbf{x}\in\Omega_e \end{cases}$$

$\partial \Omega$为无源空间$\Omega_i$的边界曲面，$\Omega_e$为外部区域。基尔霍夫-亥姆霍兹积分表示了非齐次边界条件下齐次亥姆霍兹方程的解——由封闭曲面$\partial \Omega$外的声源分布激励产生的声场$S(\mathbf{x},\omega)$由封闭曲面$\partial \Omega$上的声压$S(\mathbf{x},\omega)$及其在法向方向上的梯度唯一确定。

在自由场条件下，边界$\partial \Omega$可以视作“透明的”，$G(\mathbf{x},\mathbf{x}_0,\omega)$为自由场的格林函数。自由场下，格林函数$G(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0,\omega)$可视为单极子声源的空间转移函数，方向梯度$\partial / (\partial \mathbf{n})G(\cdot)$视为双极子的空间转移函数。